La Prehistòria del Cangur (2)

N₁

Nivells 2 i 3

Per quants nombres enters n , és N també  enter?

                                                                          

A) cap  B) 1  C) 2  D) 6  E) infinits

N₂

Nivells 2 i 3

S’escriuen en fila, un darrere l’altre, 10 nombres primers consecutius començant pel 2. Del nombre que així queda escrit n’eliminam la meitat dels dígits (deixant els altres en el mateix ordre) de manera que el nombre que s’obté és el més alt possible. Quina és la cinquena xifra d’aquest nou nombre?

A) 1  B) 2  C) 3  D) 5  E) 7

N₃

Nivells 3 i 4

El nombre de xifres de    20¹⁰⁰⁰ · 5⁹⁹⁷  és

A) 1997  B) 1998  C) 2000  D) 2050  E) no es pot saber sense calculadora

AJUDA I SOLUCIÓ

La Prehistòria del Cangur (1)

GEO₁

Nivell 2 i 3

En la figura adjunta DECF és un paral.lelogram. Quina és la relació entre l’àrea d’aquest paral.lelogram i la del triangle  ADF ?

A) 4:1  B) 2:1  C) 5:1  D) 3:1  E) 1:1

GEO₂

Nivell 2 i 3

Quina és en cm² l’àrea de la corona circular de la figura, si la corda tangent a la circumferència interior mesura 20 cm?

A) 400Õ  B) 400  C) 20  D) 100Õ  E) no es pot determinar

GEO₃

Nivell 2 i 3

Una pilota de tennis de radi 5 cm sura a la superfície de l’aigua d’una piscina de manera que l’altura de la part no enfonsada és de 2 cm. Quin és, expressat en cm, el radi del cercle que la superfície de l’aigua dibuixa sobre la pilota?

A) 3  B) √5  C) 4  D)  √21  E) 5

 

ajuda i solucions

AMPLIACIÓ DEL GEO2 (problema 57)

MÉS CRIPTARITMES

Nivell 1 Cangur 2007  (5 punts)

En la multiplicació de la dreta

apareix cada una de les xifres de l’1 al 9 una i una sola vegada. Quina és la xifra Y ?

A)     1  B)  4  C)  5  D)  8  E)  9 

Nivell 2 Cangur 2009  (4 punts)

En la igualtat

lletres distintes signifiquen dígits distints, mentre que lletres iguals signifiquen dígits iguals. Quants resultats diferents pot donar el producte

T·H·R·E·E   ?

A) 1   B) 2   C) 3   D) 4   E) 5

Nivell 3 Cangur 2006  (4 punts)

En la suma de la dreta cada lletra representa un dígit,i,com és habitual en aquests problemes, a les lletres iguals els corresponen dígits iguals ,i a les lletres diferents,dígits diferents. Quins dels següents pot ser el valor de la lletra V?

A) 1   B) 2   C) 3   D) 4   E) 5

AJUDA I SOLUCIÓ

FUNCIONS Nivell 4

Cangur 2002  (5punts)

Considera la funció f(x) = (x + a)³ + b².
Quantes parelles de nombres reals (a,b) compleixen f(0)=1 i f(1)=2?

A)  4   B) 3   C) 2   D) 1   E)  cap

Cangur 2005  (5punts)

Definim f: Z→Z  per recurrència a partir de:

                      f(0) = a   I    f(n+1) = 2· f(n) – 1      

Si  f(99) = 2¹⁰⁰ + 1     ,  quant és   a ?

   A)  2   B)  3   C)  5    D)  6   E)  9  

Cangur 2010  (5punts)

Una funció de nombres reals positius és tal que 

2· f(x) + 3· f(2010/x) = 5x

Aleshores  f (6) = 

A) 993   B) 1   C) 2009   D) 1013   E) 923

AJUDA I SOLUCIONS

CRIPTARITMES 1999

Nivell 1 (4 punts)

Quant sumen les dues xifres que falten en la multiplicació?   

A)    6   B)  8   C)  10   D)  12   E)  14                     

Nivell 2 (5 punts)

En la suma de la dreta, que han plantejat unes amigues de la Unió Europea (una anglesa, una francesa i una alemanya), cada lletra representa una xifra, amb el benentès que lletres iguals corresponen a xifres iguals i lletres diferents a xifres diferents i que, a més, sabem que no hi apareix el 0 (zero). Quin és el valor més gran que pot tenir DREI?

A)    9863   B)  9873   C) 9874  D)  9875  E)  9876  

Nivell3 (4 punts)

Donat el nombre natural a que compleix la igualtat, quant val a ?

A) 29   B) 23   C) 19   D) 13   E) menys de 13

ajuda i solució

2015

Algun exercici de les proves CANGUR sol està relacionat amb l'any de les proves.
Un possible exemple (Nivell 1 o 2) seria el següent:

Tenim 2015 petits cubs amb tres cares retolades amb el número 2   i les altres tres amb el 4. Amb tots ells, i sense sobrar-ne cap, construïm un ortoedre “tridimensional”. Si miram una de les cares de més superfície hi podrem veure dosos i  quatres. Quin és el resultat més gran que podríem obtenir sumant tots aquests dígits ?

A)  2015      B)   8060     C)  1612      D)  1550     E) 1224

AJUDA i SOLUCIÓ 

REPTE nivell 4

Un exercici de 4 punts de les proves CANGUR 2001

En una lliga de futbol, on juguen els equips A, B, C i D , i cada equip juga amb tots els altres un partit, els punts totals resultants han estat els següents: equip A , 7 punts; equip B , 4 punts; equip C , 3 punts, i equip D , 3 punts. Si s'obtenen 3 punts per una victòria, 1 punt per un empat i cap punt per una derrota, qui va guanyar el partit entre A i D ?

A)va guanyar A  B)van empatar  C)va guanyar D  

D)depèn del resultat entre A i B

E)depèn del resultat entre A i C

AJUDA I SOLUCIÓ

REPTE nivell 1

Un exercici de 4 punts de les proves CANGUR 2002

Si prens un nombre de tres xifres, fas la suma d'aquestes xifres i, tot seguit, del nombre resultant tornes a sumar les xifres, quin és el valor més gran que pots obtenir?

A) 9     B) 10     C) 11     D) 12      E) 18 

Si vols ajuda i/o solució ,clica sobre les cintes mètriques 

REPTE nivell2

Un exercici de 5 punts de les proves CANGUR 2000 

El nostre Cangur té una capsa amb 2000 caramels de quatre colors: 407 són verds, 408 són blancs, 588 són grocs i 597 són vermells. Cangur decideix menjar-se els caramels d’aquesta manera: treu a l’atzar tres caramels de la capsa, sense mirar, i, si són del mateix color, se’ls menja; altrament, els retorna a la capsa. Va fent això durant molt de temps, fins que s’adona que només queden dos caramels a la capsa. De quin color són aquests caramels?

A) Verds     B) Grocs     C) Vermells     D) Blancs     E) Potser no són del mateix color

Si vols ajuda i/o solució clica sobre el caramel que més t'agradi  

REPTE nivell3

Un exercici de 3 punts de les proves CANGUR 2008

Hi ha 7 cartes dins d’una capsa. Les cartes tenen escrits els números de l’1 al 7 (cada carta un número). Un savi agafa ,a l’atzar, tres cartes de la capsa i un altre savi n’agafa dues (queden dues cartes a la capsa). Llavors el primer savi , després d’haver mirat només les seves cartes, dedueix que la suma dels números de les dues cartes del segon savi és un nombre parell.

Quina és la suma dels números de les cartes del primer savi?

A) 10           B) 12            C) 6            D) 9            E) 15   

Si vols veure la solució clica sobre el quadrat màgic 

PERCENTATGES (2)

22.PERCENTATGES
Enunciats
Pistes
Solucions

4 EXEMPLES de l'any 2014

NIVELL 1

Al conill Rabbit li agraden les pastanagues i les cols. En un dia es menja o bé 9 pastanagues, o bé 2 cols, o bé 1 col i 4 pastanagues, però hi ha dies que només menja herba. Durant els últims deu dies, en Rabbit s’ha menjat un total de 30 pastanagues i 9 cols. Quants d’aquests deu dies només ha menjat herba?

A) 0               B) 1               C) 2                D) 3               E) 4

Ajuda i solució

NIVELL 2

La mitjana de dos nombres positius és el 70% d’un d’aquests nombres. En quin tant per cent la mitjana és més gran que l’altre nombre?

A) 75%           B) 70%           C) 30%            D) 25%           E) 20%

Ajuda i solució

NIVELL 3

En l’equació  C x A x (N + G + U + R) = 33, cada lletra representa una xifra diferent (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).De quantes maneres diferents es poden escollir el valor de les lletres?

A) 12            B) 24            C) 30             D) 48            E) 60

Ajuda i solució

NIVELL 4

La funció    f: Z→Z satisfà aquestes condicions:

f(4) = 6       i        x·f(x) = (x-3)·f(x+1)

Quin és el valor de  f(4)·f(7)·f(10)·.....·f(2011)·f(2014) ?

A) 2013        B) 2014        C) 2013·2014      D) 2013!        E) 2014!

Ajuda i solució

CANGUR 2015

S'han convocat les proves Cangur corresponents a l'any 2015.
És la 16na edició a les Illes Balears
  i tendran lloc dia 19 de Març

Coratge a tots els organitzadors i participants

GUANYADORS CANGUR 2014

Si vols consultar la llista de guanyadors d'enguany , tens l'enllaç AQUÍ

ENHORABONA A TOTS!!

PROVES 2014

UN PROBLEMA DEL NIVELL 4
problema 30 . 5 punts

En un bosc d’una illa màgica, hi viuen tres classes d’animals: lleons , llops i cabres. Els llops només poden menjar cabres, i els lleons poden menjar llops o cabres. No obstant això, com que l’illa és màgica, si un llop es menja una cabra es converteix en un lleó; si un lleó es menja una cabra es converteix en un llop, i si un lleó es menja un llop es converteix en una cabra. En un principi a l’illa hi havia 17 cabres, 55 llops i 6 lleons. Quina és la quantitat més gran possible d’animals que poden quedar a l’illa, de manera que cap dels animals ja no es pugui menjar cap altre animal?

A) 1             B) 6            C)  17            D) 23            E) 35

ajuda i solució

UNA PROPIETAT DELS QUADRILÀTERS

Aquest resultat pot ser útil per resoldre alguns exercicis de les proves Cangur
A tot quadrilàter (convex) ,un cop traçades les dues diagonals, es verifica
                                         S1·S3 = S2·S4
 

DEMOSTRACIÓ

PROVES 2014

UN PROBLEMA DEL NIVELL 3 
Problema 22. 5 punts

A la figura hi ha indicats set punts units per segments. En Sergi vol afegir uns quants segments entre aquests punts, de manera que de cada punt surtin el mateix nombre de segments.

Quin és el nombre mínim de segments que ha de dibuixar en Sergi?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 9

E) 10

ajuda i solució

PROVES 2014

DOS PROBLEMES DEL NIVELL2
Problema 27. 5 punts

Un grup de 25 persones el formen “sincers” , “mentiders” i “alternants”. Els sincers sempre diuen la veritat, els mentiders sempre menteixen, i els alternants, si una vegada diuen la veritat, a la següent menteixen i a l’inrevés. Quan van preguntar a cada un: “Ets un sincer?”, 17 d’ells van dir : “Sí”. Quan just després van preguntar-los: “Ets un alternant?”, 12 d’ells van dir : “Sí”. I quan ,seguidament, van preguntar-los: “Ets un mentider?”, 8 d’ells van dir: “Sí”. Quants alternants hi ha en el grup?.

A) 21

B) 16

C) 9

D) 8

E) 17

  
ajuda i solució

Problema 22 . 5 punts

Una bàscula vella no funciona correctament. Si es pesa un objecte de menys de 1000 g ,la bàscula dóna el pes exacte, però si el pes real és de 1000 g. o més, aleshores ens mostra un nombre de grams qualsevol però superior a 1000 g.

Tenim 5 pesos A g, B g, C g, D g i E g, tots inferiors a 1000 g. Quan els pesem per parelles la bàscula dóna els resultats B+D=1200 , C+E=2100 , B+E=800 , B+C=900 i A+E=700. Quin és el més gran d’aquests pesos?

A) A

B) B

C) C

D) D

E) E

  
ajuda i solució 

SOLUCIONS PROVES 2014

Per consultar les solucions de les proves CLICA AQUÍ

PROVES 2014

DOS PROBLEMES DEL NIVELL 1

Problema 23. 5 punts

En les caselles d’una taula 3x3 ,la Mireia hi vol escriure tots els nombres de l’1 al 9,de manera que en cada casella hi hagi només un nombre. Tal com es pot veure a la figura,ja ha escrit l’1,el 2, el 3 i el 4. Després d’escriure tots els nombres,s’adona que la suma dels nombres veïns del 5 és igual a 9. Quina és la suma dels veïns del 6?

(Diem que dos nombres són “veïns” si les seves caselles tenen un costat comú)

A) 14          B)  15            C)  17             D)  28              E)  29

 ajuda i solució

Problema  28. 5 punts

En el País de les Meravelles, cada dia asolellat és precedit de dos dies de pluja. També passa que cinc dies després d’un dia de pluja hi ha un altre dia de pluja.  Avui és asolellat. Per a quants dies com a màxim podem preveure el temps que farà,amb la seguretat d’encertar-ho?

A) un dia

B) dos dies

C) quatre dies

D) no es pot fer cap predicció,ni tan sols per l’endemà

E) d’avui en endavant podem preveure el temps que farà cada dia

ajuda i discussió

PROVES CANGUR 2014

 

 Darreres instruccions abans de la prova a l'IES "Mossèn Alcover"

 Aspecte de les proves a Palma (Fotografia "Diario de Mallorca")

2014

L'any de la prova protagonitza sovint algun problema
Enguany , 2014 és el producte de tres factors primers i té 8 divisors, 6 d'ells són propis

2014 = 2 · 19 · 53

Si vols un exercici de prova, aquí n'hi ha un

(Podria correspondre als nivells 3 o 4  i  valdria  5 o 4 punts, repectivament)

 Calcula:

pista i solució

NOMBRES NATURALS

Els nombres naturals són una font inesgotable de problemes
La teoria de la divisibilitat, la misteriosa galàxia dels nombres primers, la saviesa del sistema de numeració decimal, i tants altres aspectes,donen lloc any rera any al plantejament de problemes nous i enginyosos.
Si vols practicar una estona

21.NOMBRES NATURALS
ENUNCIATS
PISTES
SOLUCIONS
Un dels problemes (Nivell1 Cangur 2006) està resolt passa a passa al blog
"viatge matemàtic i plaent"
Els trobaràs al mes de febrer de 2014, com a problema 61

CANGUR 2014

Dia 20 de març és el dia de les proves
Fer-les és una prova de salut i fortalesa en un any molt difícil
Coratge als organitzadors i participants
El bram dels ases no ha de destorbar la festa

ANGLES(2)

Si partim d'un vèrtex d'un triangle, recorrem la seva frontera i tornam a la posició inicial, el gir de volant haurà estat de 360º . Aquest gir és la suma dels tres angles externs del triangle. Com que cada angle extern A = 180º - a  (essent a la mida de l'angle intern adjacent a A) , resulta que
360º = (180º- a) + (180º- b) + (180º- c)  ;   360º = 540º - (a + b + c)  ;  a + b + c = 180º

Una de les múltiples formes de veure que 

la suma dels angles d'un triangle és 180º

Pots practicar amb alguns exercicis d'angles

20.ANGLES(2)
enunciats
pistes 
solucions

VARIAT D'EQUACIONS

Les equacions són eines poderoses.En el millor dels casos,la cultura general reté l'algoritme de l'equació de segon grau i alguns mètodes memorístics sobre canvis de sumands d'un membre a l'altre i receptes semblants. És una llàstima, perquè el poder de l'equació rau en les propietats del signe =  (de la relació d'igualtat que hi és representada) i en la seva invariància ,o no, respecte de les principals operacions i funcions.

Per practicar una mica 

19.EQUACIONS
enunciats
pistes
solucions

FÓRMULES DE CARDANO

Fa un temps s'estudiaven les fórmules de Cardano associades a l'equació de segon grau.
Darrerament, han passat a un segon pla i és estrany veure-les en exàmens oficials.
No són d'ús freqüent als problemes de les proves Cangur, però adesiara han aparescut exercicis la resolució dels quals esdevé fàcil emprant les fórmules del savi italià.

Si  x₁ i  x₂  són les solucions de l’equació  ax²+bx+c=0

es verifica:

x₁ + x₂ = -b/a  

x₁·x₂ = c/a       

Fórmules que es poden generalitzar per a graus superiors

En el cas de la cúbica  ax³ + bx² + cx + d = 0

x₁ + x₂ + x₃ = -b/a

x₁·x₂ + x₁·x₃ + x₂·x₃ = c/a

x₁·x₂·x₃ = -d/a

18.FÓRMULES DE CARDANO
ENUNCIATS
PISTES
SOLUCIONS