ESCALAM

OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

Fase local 2002 

En un equip de futbol tenim 11 jugadors, dels quals les camisetes estan numerades de l’1 a l’11. N’elegim 6 a l’atzar. Quina probabilitat tenim que la suma dels números de les seves camisetes sigui senar? 

AJUDA I SOLUCIÓ

ESCALAM

OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

Fase Local 1999

¿Quins dígits s’han omès a la següent multiplicació? 

	2	*	*
x		*	*
	*	6	1
*	*	*
*	*	0	1

AJUDA I SOLUCIÓ

ESCALAM

LVI Olimpíada Matemàtica Espanyola

Fase local

Donat un nombre natural n > 1, realitzam la següent operació: si n és parell, el dividim per dos; si n és senar, li sumam 5. Si el nombre obtingut després d’aquesta operació és 1, param el procés; en cas contrari, tornam a aplicar la mateixa operació, i així successivament. Determinau tots els valors de n per als quals aquest procés és finit, és a dir, arribam a 1 en algún moment. 

AJUDA I SOLUCIÓ

ESCALAM

54na Olimpíada Matemàtica Espanyola

Fase local a les Illes Balears 

Provau o refusau que existeixen nombres x i y que compleixen:

x+y=1          (i)

x² + y² = 2   (ii)

x³ + y³ = 3   (iii)

AJUDA I SOLUCIÓ

ESCALAM

59na Olimpíada Matemàtica Espanyola

Fase Local - Illes Balears

En una presó hi ha 30 convictes. Se’ls dona una última possibilitat abans de matar-los: s’hauran de col·locar en fila índia i se’ls col·locarà a cadascun un barret, blanc o negre. Tothom veu de quin color tenen el barret tots els presoners de davant seu (així, l’últim veu el barret dels 29 que té al davant i el primer no veu res). Es preguntarà a cada pres de quin color és el seu barret (començant per l’últim pres, el que ho veu tot). El pres que encerti de quin color és el seu barret es salva, el que no, serà afusellat.

Abans que això es realitzi, els presos, que coneixen la prova a la qual seran sotmesos, però no el color del barret que se’ls posarà, poden parlar i pensar una estratègia de grup. Quina estratègia poden seguir els 30 presoners per tal de salvar-se’n el màxim nombre possible?

AJUDA I SOLUCIÓ

ESCALAM

59na Olimpíada Matemàtica Espanyola

Fase Local - Illes Balears

2n estudiants (amb n ≥ 5) participen en un torneig de tenis de taula, que té una durada de 4 dies. Cada dia, cada estudiant, juga un partit. En cada partit hi ha un guanyador i un perdedor (no hi ha empat possible). És possible que la mateixa parella d’estudiants s’enfrontin dues o més vegades, en dies diferents. Sabem que el torneig acaba de la forma següent:

– Hi ha un únic guanyador.

– Hi ha exactament 3 estudiants que acaben en segona posició.

– Cap estudiant ha perdut els 4 partits.

Quants estudiants van guanyar un sol partit i quants van guanyar exactament dos partits?

AJUDA I SOLUCIÓ

COLLITA DEL 23: ex.20 2nBAT

Quants nombres naturals són divisors de 2²⁰·3²³ però no ho són de 2¹⁰·3²⁰ ?

A) 13   B) 30   C) 273   D) 460   E) Cap de les anteriors.

ajuda i solució

COLLITA DEL 23:ex.27 1rBAT

Quants nombres enters positius de tres xifres hi ha amb la propietat que si restem del nombre la suma de les seves xifres, el resultat és un nombre de tres xifres amb les tres xifres iguals?

A) 2   B) 3   C) 8   D) 20   E) 30

ajuda i solució